Ответы на олимпиаду ВСОШ Математика 4 5 6 7 8 9 10 11 класс 28 сентября 2025

Ответы на олимпиаду ВСОШ Математика 4 5 6 7 8 9 10 11 класс 28 сентября 2025. Решили все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиада по математике правильные ответы для школьного этапа 2025-2026 учебный год всероссийской олимпиады школьников Московской области дата проведения 28, 29, 30 сентября 2025 начало олимпиады в 10:00 по московскому времени.

Олимпиада по математике 4 класс школьный этап 2025

1. Семеро гномов принесли Белоснежке яблоки, каждый из них принес от 2 до 8 яблок, причем у любых двух гномов было разное число яблок. Каждый гном отдал Белоснежке или все свои яблоки, или их часть. В результате у Белоснежки оказалось 34 яблока. Сколько Гномов отдали ей все свои яблоки?

Ответ: 6

2. Кто самый старший? Белоснежка про трёх гномов по имени Филли, Тилли и Рилли сделала три утверждения: «Филли старший гном», «Тилли не старший гном», «Рилли не младший гном». Но лишь одно высказывание было верным. Кто из гномов самый старший, кто средний и кто младший? 1. Выберите имя старшего гнома. 2. Выберите имя младшего гнома. 3. Запишите первые буквы имён гномов подряд без пробелов в порядке увеличения их возрастов. В качестве ответа вводите последовательность заглавных букв в требуемом порядке. Никаких иных символов быть не должно.

Ответ: Самый старший Тилли, Самый младший Рилли, РФТ — в порядке возрастания

3. Пятеро гномов: Доп, Роп, Хоп, Кноп и Топ хотели построиться в очередь, чтобы купить подарки Белоснежке. Когда пришёл Доп, остальные уже выстроились в очередь. Если бы Доп встал посередине очереди, то оказался бы между Хопом и Топом, причём Хоп стоял бы перед ним, а Топ за ним. Если бы Доп встал в конец очереди, то рядом с ним оказался бы Кноп. В итоге Доп встал в начало очереди. Кто за кем стоит?

Ответ: Доп- первый, Роп-второй,Хоп-третий,Кноп-Предпоследний,Топ-еоследний

4. У Белоснежки в корзине лежали яблоки трех цветов: зелёные, жёлтые и красные. Причём яблоки каждого цвета обязательно присутствовали. Всего в корзине было яблока. Жёлтых яблок было в 4 раза больше, чем зелёных. Красных яблок было меньше, чем желтых. Сколько в корзине было красных яблок? 1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? 2. Запишите, сколько в корзине было красных яблок. Если вариантов ответа получилось несколько, то запишите произведение полученных значений.

Ответ: 2, 36

5. Белоснежка хотела раздать гномам яблоки и попросила их выстроиться в очередь. Гномы выстроились в очередь, но, пока ждали Белоснежку, подошли другие гномы, и в каждый промежуток между двумя стоявшими гномами влезло еще по одному гному. Белоснежка задерживалась и в каждый промежуток опять влезло по одному гному. Когда же она пришла, то принесла 85 яблок и раздала все свои яблоки, причём каждому гному в очереди досталось по одному яблоку. Сколько гномов стояло в очереди сначала?

• Скачать все ответы

6. Белоснежка вышла из Деревни гномов и пошла по прямой Волшебной дороге к себе домой со скоростью 6 км/ч. На расстоянии 12 км и 18 км от Деревни гномов около Волшебной дороги росли Медовые яблони. Через сколько часов после выхода из Деревни гномов сумма расстояний от Белоснежки до Медовых яблонь будет равна 18 км, если расстояние от Деревни гномов до дома Белоснежки равно 37 км? 1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? 2. Запишите, через сколько часов после выхода из Деревни гномов сумма расстояний от Белоснежки до Медовых яблонь будет равна 18 км. Если вариантов ответа получилось несколько, запишите сумму этих значений.

7. Белоснежка решила поиграть с гномами и взяла стеклянную коробку размером 3х3х3 ячейки. В некоторые ячейки она положила яблоки по одному в ячейку. Если в коробке какие-то яблоки лежат друг за другом, то видно только одно яблоко. Первый гном видит коробку сверху так а второй гном видит коробку спереди так. Какое количество яблок Белоснежка могла положить в коробку? 1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? 2. Запишите, какое количество яблок Белоснежка могла положить в коробку. Если вариантов ответа получилось несколько, то запишите сумму этих значений.
   Скачать все ответы

8. Белоснежка и несколько гномов хотят заселиться в домик, представляющий собой квадрат 5х5 клеток (клетка — это одна комната). Одну комнату в домике должна занять Белоснежка, а в остальные (не обязательно во все) могут заселиться гномы по одному в комнату. Каждый гном сказал, что он согласен заселиться в комнату, либо если среди его соседей будет Белоснежка, либо если соседей вообще не будет. Соседи это те, кто живут в соседних по стороне или по диагонали комнатах. Какое максимальное количество гномов можно заселить в этот домик?
   Скачать все ответы

Олимпиада по математике 5 класс школьный этап 2025

1. Винтик загадал натуральное число, в котором все цифры различны, и рассказал Шпунтику про это число два факта: 1) если зачеркнуть в этом числе первую и последнюю цифры, то останется двузначное число, которое является наибольшим с суммой цифр, равной 10. 2) первая цифра этого числа в три раза больше последней. Шпунтик быстро отгадал это число. Отгадайте и Вы. Чему равно это число?

Ответ: 6912

2. Иголочка получила заказ для своей мастерской сшить прямоугольный тент для парка в Солнечном городе. Но спустя неделю заказ изменили: тент должен был остаться прямоугольным, но две противоположные стороны тента решили увеличить на одинаковую величину, а две другие оставить без изменений. В результате площадь тента увеличилась в 3 раза, а периметр увеличился с 16 м до 24 м. Найдите длину, ширину и площадь прямоугольного тента, который хотели заказать сначала.
3. Чему равна меньшая сторона (ширина) тента, который хотели заказать сначала (в метрах).

Ответ: 2

2. Чему равна большая сторона (длина) тента, который хотели заказать сначала (в метрах).

Ответ: 6

3. Чему равна площадь тента, который хотели заказать сначала (в квадратных метрах).

Ответ: 12

3. Пончик спрятал от коротышек ключ от кондитерской в сейф. Но потом забыл код от сейфа. Сиропчик предложил помочь Пончику вспомнить код. Пончик рассказал, что код – это семизначное число-палиндром (читается одинаково слева направо и справа налево). Так же он вспомнил, что две последние цифры кода образуют число, которое в 4 раза больше числа сотен и в 7 раз больше числа тысяч этого семизначного числа. Сиропчик смог открыть сейф. Каким был код?

Ответ: 4260624

4. Авоська, Небоська и Пончик живут в одном доме на улице Колокольчиков, но на разных этажах – на первом, на втором и на третьем.
   Небоська говорит: «Пончик живёт на первом этаже».
   Авоська говорит: «Я живу на первом этаже».
   Пончик говорит: «Я живу на втором этаже».
   Один из коротышек сказал неправду.

Кто из коротышек говорил неправду? Кто на каком этаже живёт?

1. Кто из коротышек говорил неправду?
   Авоська
   Небоська
   Пончик

Ответ: Небоська

2. Кто на каком этаже живёт?
   первый
   второй
   третий
   Авоська
   Небоська
   Пончик

Ответ: Авоська-первый,Пончик-второй,Небоська-третий

5. Тюбик взял стеклянную коробку размером 3х3х3 ячейки. В некоторые ячейки он положил конфеты по одной в ячейку. Если в коробке какие-то конфеты лежат друг за другом, то видно только одну конфету. Авоська видит коробку сбоку так:

Сколько конфет Тюбик мог положить в коробку?  1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? 2. Запишите, сколько конфет Тюбик мог положить в коробку. Если вариантов ответа получилось несколько, то запишите сумму этих значений.
Скачать все ответы

6. Учитель нарисовал на доске пятиугольник, в его вершинах, а также в серединах его сторон расставил натуральные числа так, чтобы суммы чисел вдоль каждой стороны (два числа на концах и одно в середине) были одинаковы. Все ученики переписали числа к себе в тетрадки. После этого учитель начал стирать числа. Незнайка опоздал на урок, и когда он зашел в класс, увидел следующую картину:

Незнайка шепнул Пончику: «Дай списать!» Но Пончик как раз проголодался и был не в духе. Сказал только, что суммы вдоль каждой стороны были одинаковы. «Тоже мне задача,» – сказал Незнайка. «Да я легко могу все числа восстановить!». А Вы можете сказать, какое число было записано в чёрном кружке?
Скачать все ответы

7. В гости к Маргаритке пришли 18 коротышек. На улице было холодно, поэтому все коротышки пришли в шапках, которые оставили в прихожей. Все шапки имели разные размеры. Через некоторое время гости начали расходиться по одному. Уходя, гость надевал любую шапку, которая не была ему мала. В какой-то момент времени получилось так, что больше ни один из гостей не смог найти себе шапку, чтобы уйти. Какое наибольшее количество гостей не смогли уйти, поскольку остались без шапки?

8. Врач Пилюлькин готовил лечебные растворы. Для этого он взвешивал бутылочки с касторкой и пузырьки с йодом. Он заметил, что пять бутылочек касторки и четыре пузырька с йодом весят 23 грамма. А четыре бутылочки касторки и пять пузырьков йода – 22 грамма. Сколько граммов весит бутылочка касторки? Сколько граммов весит пузырек с йодом? Сколько граммов весят пузырек с йодом и бутылочка касторки вместе? 1. Сколько граммов весит бутылочка касторки? 2. Сколько граммов весит пузырёк с йодом? 3. Сколько граммов весят пузырёк с йодом и бутылочка касторки вместе?
   Скачать все ответы

Олимпиада по математике 6 класс школьный этап 2025

Задание 1. Невилл Долгопупс прогулял уроки Магической нумерологии, на которых изучали цифры 1, 5 и 6, все остальные цифры он знает. Какое самое большое число, не делящееся на три, он может написать, если каждую цифру, которую он знает, можно использовать не более одного раза?

Ответ: 65

Задание 2. На факультете Слизерин была выпущена Стенгазета, которая представляла собой бумажный прямоугольник. Драко Малфой и Винсент Крэбб, выкрав газету, начали отрезать от нее треугольники, каждый раз проводя один прямой разрез Волшебными ножницами. Они успели отрезать 25 кусков, а потом их прогнал профессор Северус Снегг, отобрав газету. Какое наибольшее число углов могло оказаться у оставшегося куска стенгазеты, которую отобрал профессор? Какое наименьшее число углов могло оказаться у оставшегося куска стенгазеты, которую отобрал профессор? 1. Какое наибольшее число углов могло оказаться у оставшегося куска стенгазеты, которую отобрал профессор? 2. Какое наименьшее число углов могло оказаться у оставшегося куска стенгазеты, которую отобрал профессор?

Ответ: 29, 4

Задание 3. В 2020 году в школу чародейства и волшебства Хогвардс принимают ребят волшебников от 2 до 20 лет, но таких, что и день, и месяц, и число, образованное двумя последними цифрами года рождения, являются квадратами натуральных чисел. Какое максимальное число юных волшебников может учиться в Хогвардсе, если никакие двое из них не родились в один день?

Ответ: 29, 4

Задание 4. Братья Уизли: Фред и Джордж ели йогурт из одинаковых стаканчиков, но разными ложками. На весь стаканчик у Фреда ушло 3 столовых ложек, 2 десертных и 1 чайная. А у Джорджа 1 столовая, 6 десертных и 3 чайных ложки. Сколько столовых ложек йогурта в одном таком стаканчике?

Ответ: 0.25

Задание 5. В Гриффиндоре на уроках по Магической Кулинарии юные волшебники создавали мороженное в стаканчиках. При взмахе волшебной палочкой иногда получалось мороженное с тремя шариками, а иногда с двумя. Каждый из учеников взмахнул палочкой одинаковое число раз, в результате у Рона получился 31 шарик, а у Гермионы 23 шарика.
Скачать все ответы

Задание 6. Гермиона, Гарри, Рон и Невилл задумали по натуральному числу от 1 до 10 так, что сумма всех чисел равна 21, а Хагрид хотел их отгадать. Чтобы помочь Хагриду, юные волшебники сообщили ему следующее: «Все ребята задумали разные числа. Самое большое из задуманных чисел было у Невилла, а самое маленькое — у Гермионы»; «Сумма чисел Гермионы и Рона равна 8 »; «Рон и Гарри задумали четные числа, а остальные – нечетные»; «Число Рона меньше, чем у Гарри». Они предупредили Хагрида, что ровно одно из этих утверждений неверно, а остальные верны. Утверждение под каким номером было ложно? Кто какое число загадал?

Задание 7. Хагрид доверил Рону и Гарри прогулять своих любимых псов. Рон гулял с Клыком, а Гарри выгуливал Пушка. Когда они находились на 160 расстоянии метров друг от друга, мальчики остановились, а Клык и Пушок побежали навстречу друг другу, каждый со своей скоростью. Когда расстояние между собаками уменьшилось вдвое, Пушок побежал в два раза быстрее, а Клык испугался и побежал обратно к Рону со своей скоростью. Добежав до него, Клык расхрабрился, развернулся и побежал снова навстречу Пушку. Встретились они в том же месте, где Клык развернулся в первый раз.
Скачать все ответы

Задание 8. Учитель арифмантики Септима Вектор поручила Гермионе взять несколько одинаковых магических кубиков и приклеивать их друг к другу грань к грани, составляя трёхмерные фигуры. Она хочет, чтобы у Гермионы получилась такая фигура, что даже если из неё удалить один кубик, то она не рассыпется на части (кубики держатся друг за друга склеенными гранями, они не могут склеиваться по ребру или по вершине). Кроме того, она просит, чтобы эту фигуру нельзя было уместить в коробку в один слой (например: фигуру в виде креста, т.е. кубик с приклеенными четырьмя кубиками по бокам сверху, снизу, справа и слева, можно положить в один слой). Какое минимальное число кубиков нужно взять Гермионе, чтобы сделать такую фигуру? Как может при этом выглядеть такая фигура, если на неё посмотреть сверху, спереди и слева? Какое минимальное число кубиков нужно взять Гермионе, чтобы сделать такую фигуру? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно.
Скачать все ответы

Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025

1. Изобретательный Корней Корнеевич получил заказ от семьи пчёл разделить поляну в форме квадрата так, чтобы три пчелёнка могли собирать нектар с цветов на ней и больше не ссориться. Для этого пчёлы попросили изобретателя разделить участок на три прямоугольника с равными площадями, но каждый пчелёнок должен при этом быть соседом с каждым из остальных пчелят (т.е. их участки должны иметь общий отрезок границы). Корней Корнеевич выполнил просьбу пчелиной семьи и прорыл рвы-разделители на поляне. Какова общая длина этих рвов (в метрах), если длина стороны квадратной полянки была 90 метров?

Ответ: 270

2. Баба Капа обнаружила в погребе съеденную банку варенья и четверых друзей рядом с ней. Пупсень сказал, что варенье съел Кузя, который в свою очередь утверждал, что виноват Вупсень. Вупсень уверял, что Кузя лжет, а Лунтик клялся, что это сделал не он. Баба Капа точно знала, что лишь один из друзей говорит правду, и что все варенье съел кто-то один из них. Кто из друзей говорит правду? Кто съел варенье? Кто из друзей говорит правду? Кто съел варенье?
   Кузя
   Вупсень
   Лунтик
   Пупсень

Ответ: Лунтик, Вупсень

3. Однажды Паук Шнюк пришёл в гости к Тёте Моте. Попив чаю, они собрались на прогулку, но пошёл сильный дождь. Тётя Мотя предложила пауку надеть галоши. Выбрать обувь оказалось непросто, поскольку у Паука Шнюка было четыре ноги (две левые и две правые). Тётя Мотя нашла у себя под кроватью 5 левых и 13 правых галош. Все галоши оказались разных цветов. Сколькими способами Паук Шнюк сможет обуться?

Ответ: 780

4. Лунтик записал на доске пять последовательных нечётных натуральных чисел. Потом стёр одно из этих чисел. Пчелёнок нашёл сумму оставшихся четырёх чисел. Она оказалась 162 равной . Какое число стёр Лунтик? Укажите самое маленькое из пяти последовательных нечётных натуральных чисел, записанных Лунтиком на доску?
   Скачать все ответы

5. Лунтик попросил друзей помочь ему сплести рыболовную сеть на день рождения дедушки Шершули. Друзья успели сплести сеть целиком, причем каждый работал со своей скоростью. Лунтик потратил на работу 7 часов, Мила – 5 часов, а Кузя работал 4 часа. Если бы они трудились с теми же скоростями, но при этом Лунтик работал часов, Мила – 3 часа, а Кузя – 2 часа, то они сплели бы 3/4 всей сети. За сколько часов друзья сплели бы эту сеть целиком, если бы работали с теми же скоростями втроём одинаковое время?

6. Паук Шнюк сплёл паутину, которая выглядит как 10 узелков, некоторые из которых соединены нитями. Шнюк точно знал, что он протянул не более 16 нитей между узелками, но забыл посчитать, сколько нитей выходит из каждого узелка, поэтому попросил Пчелёнка ему помочь. Пчелёнок облетел всю паутину и записал, сколько нитей выходит из каждого узелка. Какие числа мог записать Пчелёнок? Выберите все такие последовательности, которые он мог записать.

7. Вупсень, Пупсень и две их подружки гусеницы расположились на квадратном листе размером 7х7 клеток. Они договорились, что каждая из четырёх гусениц соблюдает следующие правила: гусеница занимает или одну клетку, или несколько клеток в виде цепочки, в которой каждая последующая клетка соседняя по стороне с предыдущей голова гусеницы находится в одной из угловых клеток листа никакую клетку листа две гусеницы одновременно занимать не могут гусеница занимает нечётное число клеток на листе. Какое максимальное количество клеток листа могут занимать четыре гусеницы вместе при этих условиях?
   Скачать все ответы

Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025

1. В гимнастическом кружке занимается 7 девочек. На соревнованиях могут выступать только команды, состоящие из двух или из трёх гимнасток. Команды отличаются только составом, порядковых номеров ни у самих команд, ни у участниц внутри команд нет. Сколько существует различных способов разбить девочек на команды таким образом, чтобы все девочки приняли участие в этих соревнованиях, причём каждая девочка выступила ровно один раз?

Ответ: 105

2. На балу мальчики танцевали с девочками, причём каждая пара танцевала не более одного танца. Мальчиков было шестеро. После бала каждый мальчик рассказал, со сколькими девочками он потанцевал, и оказалось, что были названы 6 последовательных натуральных чисел. А каждая из девочек рассказала, что танцевала со всеми мальчиками, кроме кого-то одного.

Ответ: 9, 45

3. На стадионе Илья и Дима готовились к соревнованиям и решили устроить два тренировочных забега. Ребята вышли на старт прямолинейной беговой дорожки. Первым стартовал Дима, а через 10 секунд после этого вслед за ним стартовал Илья. Когда прошло еще полминуты, оказалось, что Дима пробежал уже половину длины этой беговой дорожки, а Илья только четверть. Немного отдохнув после первого забега, ребята начали второй забег. Теперь они решили побежать навстречу друг другу, стартуя одновременно с противоположных концов этой же беговой дорожки.

Ответ: Дима, 75, 1.67

4. Придя на тренировку по футболу, Дима не поздоровался с четвертью ребят из секции, не считая себя. Один из тех ребят, с кем он поздоровался, Серёжа, сам поздоровался с одной пятой от тех футболистов, с кем поздоровался Дима, не считая себя.

Ответ: 8, 2, 23

5. У трёхзначного числа N было шесть натуральных делителей. Его записали два раза подряд без пробелов и у полученного числа оказалось уже 24 натуральных делителя. Каким могло быть исходное число N? Найдите все варианты.
   Скачать все ответы

6. Зал кинотеатра представляет собой прямоугольник 4×10 мест. На сеанс привели класс, в котором учатся отличники и хулиганы. Отличники всегда говорят правду, хулиганы всегда лгут. Считается, что два человека сидят рядом, если они занимают места соседние по стороне или по диагонали. Каждый школьник сказал фразу: «Рядом со мной сидит хулиган». Какое наибольшее количество хулиганов может присутствовать на сеансе?
   Скачать все ответы

Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025

1. На шахматную доску выставляют королей трёх цветов: красного, синего и зелёного. Какое максимальное число королей можно выставить на доску 10х10, чтобы короли одного цвета не били друг друга?

Ответ: 50

2. На острове рыцарей и лжецов рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На «Празднике середины осени» проводили фуршет. 883 гостя рассадили за 5-местные и 6-местные столики, причем пустых мест за столиками не осталось. Когда все расселись, каждый житель написал в своем личном блоге: «Не считая меня, за моим столиком сидит как минимум 4 лжеца».

Ответ: 153, 1, 147

3. Корни приведённого квадратного трёхчлена x2+bx+c — натуральные числа, а разность его коэффициентов c-b равна 23. Найдите все возможные значения наименьшего из корней этого трёхчлена. Сколько вариантов ответа в этой задаче? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Запишите все возможные значения наименьшего из корней этого трёхчлена в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания. В качестве ответа вводите натуральное число, если вариантов ответа несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания.

Ответ: 3, 123

5. В прямоугольном треугольнике ABC отметили точку M — середину гипотенузы AB. Точка D выбрана на продолжении прямой AC за точку , а точка E на отрезке BC. Точка N — середина отрезка DE . Оказалось, что MN=AM=5 и CBN=30. Найдите DE.
   Скачать все ответы

7. Известно, что в записи пятой степени натурального числа N используются цифры 4, 7, 9 – каждая по одному разу, и ещё две двойки и две шестёрки.

8. На доске написано число 3969000. Каждую минуту робот «Мультипликатор» производит с записанным на доске числом следующую операцию: умножает его на одну из трёх дробей – или на 4/3 или на 9/5 или на 25/7, но только если полученное в результате число будет целым. Полученное после умножения целое число робот записывает на доску вместо предыдущего.
   Скачать все ответы

Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025

1. Коля и Алиса бегают наперегонки. В каждом забеге кто-то один выигрывает, а другой – проигрывает, причем вероятность победы Коли составляет 0,2. В случае, если Коля выигрывает два забега подряд, то в следующем он решает немножко поддаться, и гарантировано проигрывает. Какова вероятность, что Коля выиграет ровно три забега из четырёх?

Ответ: 0.0208

2. В треугольнике ABC величина угла C в два раза больше величины угла A, AC = 16, BC = 9. Найдите AB.

Ответ: 15

3. Известно, что число a=1+√5/2​​ называют золотым числом, и оно является корнем уравнения x2−x−1=0 Найдите значение выражения a10−55a в численном виде.

Ответ: 34

4. На доске 7х8 расставляют несколько фишек. Две фишки считаются близко расположенными, если из клетки, занятой одной из них, можно прийти в клетку, занятую другой фишкой, за 1 или за 2 хода. Каждый ход – это либо перемещение в соседнюю по диагонали клетку, либо ход шахматного коня (буквой Г). Какое наибольшее число фишек можно расставить на такую доску, чтобы никакие две фишки не были близко расположенными?

Ответ: 14

5. На уроке алгебры Вася и Петя записали в своих тетрадях многочлен x2+4x+6. Затем Вася заменил в своём многочлене какой-то коэффициент на не равное ему целое число а, а Петя в своём многочлене заменил какой-то коэффициент на не равное ему целое число b. При этом a было не равно b. После этого на доске они построили графики двух полученных многочленов. Оказалось, что эти графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами x=0 и x=1. Найдите модуль разности между числами a и b.
   Скачать все ответы

6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На прямой AB отметили точку K, симметричную точке A относительно точки B, и точку M — середину стороны BC. Найдите KM, если AB=3√3​ и ∠BCA=30∘.

7. На доску выписали несколько последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них 52% нечётных, причем сумма всех выписанных нечётных чисел является квадратом, большим 200 и меньшим 2000. Найдите все варианты значений самого маленького числа. 1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно.
   Скачать все ответы

2. Сколько всего чисел было записано на доску? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно.
3. Найдите самое маленькое из записанных чисел. В качестве ответа вводите натуральное число. Если вариантов ответа несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания.
   Скачать все ответы

Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025

1. На доске 10х10 стоят 16 белых пешек образующие квадрат 4х4 в центре. На одну из свободных клеток доски поставили чёрного коня. 1. Сколькими способами можно поставить коня, чтобы он бил хотя бы одну из пешек? 2. Какова вероятность, что конь будет бить хотя бы одну из пешек? Выразите вероятность в виде несократимой обыкновенной дроби. Запишите числитель получившейся дроби. 3. Запишите знаменатель получившейся дроби.

Ответ: 36, 3, 7

2. Дима вывел трёх своих собак побегать наперегонки на круговом стадионе. Полкан, Рекс и Маркиз стартовали одновременно из одной точки в одном направлении. Пока собаки бегали по кругу, Дима немного прошёл по круговой дорожке стадиона. Финишировали собаки одновременно, около того места, куда дошёл к тому времени хозяин. За время бега Полкан обогнал Маркиза 8 раз, а Рекс обогнал Маркиза 2 раза. Скорости собак постоянны, моменты старта и финиша обгонами не считаются. Скорость Полкана 27 км/ч, скорость Рекса 19 км/ч. Найдите скорость Маркиза в км/ч.

Ответ: 16.3

3. На карточках написаны все натуральные делители числа 45, по одному делителю на каждой карточке. Карточки выложили на стол числами вниз. Оля и Юля вытянули по одной карточке и увидели написанные на них числа. Какова вероятность, что одно из этих чисел делится на другое? 1. Сколько всего карточек лежало на столе изначально? 2. Выразите вероятность в виде обыкновенной несократимой дроби. Чему равен числитель получившейся дроби? 3. Выразите вероятность в виде обыкновенной несократимой дроби. Чему равен знаменатель получившейся дроби?

Ответ: 6, 4, 5

4. ABCD – выпуклый четырёхугольник. Точка E принадлежит отрезку BC, ∠BAE = 44°, ∠EDC = 34°. Известно, что AD – касательная к окружностям, описанным вокруг треугольников ABE и DCE. Найдите угол ∠AED.

Ответ: 39

5. В стране 60 городов, некоторые из которых соединены дорогами. Известно, что из столицы выходит 30 дорог, и, что если есть дорога между городами А и Б и между городами Б и В, то есть и дорога между городами А и В. Какое максимальное количество дорог может быть в такой стране?
   Скачать все ответы

6. ABCD — тетраэдр. Известно, что углы ABC и ADC — прямые, AC = 3. Чему может быть равна длина отрезка BD?

7. Серёжа тренируется в арифметике: сначала он записывает на доску некоторое целое число N, потом возводит это число в квадрат, затем отнимает 40 и результат делит на 3. Полученное в итоге число, если оно целое, он записывает на доску вместо старого числа, а иначе – заканчивает процесс. Все появлявшиеся когда-либо на доске числа Серёжа также записывает в тетрадку. В некоторый момент в тетрадке появилось число, которое там уже было записано ранее. Чему могло быть равно N? Найдите все варианты. 1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? 2. Чему могло быть равно N? Запишите сумму всех полученных значений вариантов ответа. 3. Чему могло быть равно N? Запишите произведение всех полученных значений вариантов ответа.
   Скачать все ответы

8. Илья записал в тетради четыре приведённых квадратных трёхчлена, у каждого из которых было два корня. Илья отметил на оси абсцисс корни каждого квадратного трёхчлена и соединил их отрезками, получив таким образом четыре отрезка. Оказалось, что: 1. любые два из этих отрезков имеют хотя бы одну общую точку 2. сумма этих трёхчленов равна 4×2-40x+100. 3. графики всех этих трёхчленов проходят через одну точку, назовём её точкой A Найдите координаты точки А. 1. Запишите абсциссу точки А. 2. Запишите ординату точки А.

Ответы на ВсОШ бесплатно, мы публикуем в нашем телеграм канале – https://t.me/sirius_otveti_olimpiada